Co to jest topologia?

Topologia to gałąź matematyki zajmująca się badaniem powierzchni lub przestrzeni abstrakcyjnych, w których mierzalne wielkości nie są ważne. Ze względu na to unikalne podejście do matematyki topologia jest czasem nazywana geometrią arkusza gumy, ponieważ wyobraża się, że rozważane kształty istnieją na nieskończenie rozciągliwych arkuszach gumy. W typowej geometrii podstawowe kształty, takie jak okrąg, kwadrat i prostokąt, są podstawą wszystkich obliczeń, ale w topologii podstawą jest ciągłość i położenie punktów względem siebie.

Mapa topologiczna może zawierać punkty, które razem tworzyłyby kształt geometryczny, taki jak trójkąt. Ta kolekcja punktów jest postrzegana jako przestrzeń, która pozostaje niezmieniona; jednak bez względu na to, jak jest skręcony lub rozciągnięty, jak punkty na gumowym arkuszu, pozostałby niezmieniony bez względu na to, w jakiej formie był. Tego rodzaju ramy koncepcyjne matematyki są często stosowane w obszarach, w których często dochodzi do deformacji na dużą lub małą skalę, takich jak studnie grawitacyjne w przestrzeni, analiza fizyki cząstek na poziomie subatomowym oraz w badaniach struktur biologicznych, takich jak zmieniający się kształt białek.

Geometria topologii nie zajmuje się rozmiarem przestrzeni, więc pole powierzchni sześcianu ma taką samą topologię jak sfera, ponieważ osoba może sobie wyobrazić, że są przekręcane w celu przejścia z jednego kształtu do drugiego. Takie kształty, które mają identyczne cechy, są nazywane homeomorficznymi. Przykładem dwóch kształtów topologicznych, które nie są homeomorficzne lub których nie można zmienić tak, aby przypominały się nawzajem, są kula i torus lub kształt pączka.

Odkrywanie podstawowych właściwości przestrzennych zdefiniowanych przestrzeni jest podstawowym celem w topologii. Mapa topologiczna zestawu poziomu podstawowego nazywana jest zestawem przestrzeni euklidesowych. Przestrzenie są podzielone na kategorie według ich liczby wymiarów, przy czym linia jest przestrzenią w jednym wymiarze, a płaszczyzna jest przestrzenią na dwa. Przestrzeń, której doświadczają ludzie, określana jest jako trójwymiarowa przestrzeń euklidesowa. Bardziej skomplikowane zestawy przestrzeni nazywane są rozmaitościami, które na poziomie lokalnym wyglądają inaczej niż na dużą skalę.

Zestawy kolektorów i teoria węzłów próbują wyjaśnić powierzchnie w wielu wymiarach poza tym, co jest widoczne na dosłownym poziomie ludzkim, a przestrzenie są powiązane z niezmiennikami algebraicznymi w celu ich sklasyfikowania. Ten proces teorii homotopii lub związek między identycznymi przestrzeniami topologicznymi zapoczątkował Henri Poincaré, francuski matematyk żyjący w latach 1854–1912. Matematycy udowodnili pracę Poincaré we wszystkich wymiarach oprócz trzech, w których kompletne schematy klasyfikacji topologii pozostają nieuchwytne.