Hvad er topologi?

Topologi er en gren af ​​matematik, der beskæftiger sig med studiet af overflader eller abstrakte rum, hvor målbare mængder ikke er vigtige. På grund af denne unikke tilgang til matematik omtales topologi undertiden som gummiarkets geometri, fordi de betragtede former antages at eksistere på uendeligt strækbare gummiplader. I typisk geometri er grundlæggende former som cirkel, firkant og rektangel grundlaget for alle beregninger, men i topologi er basen en kontinuitet og punkternes placering i forhold til hinanden.

Et topologisk kort kan have punkter, der tilsammen udgør en geometrisk form, såsom en trekant. Denne samling af punkter betragtes som et rum, der forbliver uændret; uanset hvordan det er snoet eller strækket, som punkterne på et gummiplade, vil det dog forblive uændret uanset i hvilken form det var. Denne form for begrebsmæssig ramme for matematik bruges ofte i områder, hvor der ofte forekommer stor- eller småskaladeformering, såsom tyngdekraftsbrønde i rummet, partikelfysikanalyse på et subatomært niveau og i studiet af biologiske strukturer som f.eks. ændre form på proteiner.

Topologiens geometri beskæftiger sig ikke med størrelsen på rum, så en terningens overfladeareal har den samme topologi som en kugle, da en person kan forestille sig, at de bliver snoede til at skifte fra den ene form til den anden. Sådanne former, der deler identiske træk, kaldes homeomorphic. Et eksempel på to topologiske former, der ikke er homeomorf, eller ikke kan ændres for at ligne hinanden, er en kugle og en torus eller doughnutform.

Opdage de kernelige rumlige egenskaber i definerede rum er et primært mål i topologien. Et topologisk sæt topologisk kort omtales som et sæt af euklidiske rum. Rum er kategoriseret efter deres antal dimensioner, hvor en linje er et rum i en dimension og et plan et mellemrum i to. Det rum, der opleves af mennesker, kaldes tredimensionelt euklidisk rum. Mere komplicerede sæt rum kaldes manifolds, som forekommer forskellige på lokalt plan end de gør i stor skala.

Manifoldsæt og knude-teori forsøger at forklare overflader i mange dimensioner ud over, hvad der kan opfattes på bogstaveligt menneskeligt plan, og mellemrummene er knyttet til algebraiske invarianter for at klassificere dem. Denne proces med homotopteori eller forholdet mellem identiske topologiske rum blev initieret af Henri Poincaré, en fransk matematiker, der levede fra 1854 til 1912. Matematikere har bevist Poincarés arbejde i alle dimensioner men tre, hvor komplette klassificeringsskemaer for topologier forbliver svækkende.