Co to jest rachunek różniczkowy i całkowy?

Gałąź matematyki zwana rachunkiem wywodzi się z opisu podstawowych właściwości fizycznych naszego wszechświata, takich jak ruch planet i cząsteczek. Rachunek zbliża się do ścieżek obiektów w ruchu jako krzywe lub funkcje, a następnie określa wartość tych funkcji, aby obliczyć ich szybkość zmian, powierzchnię lub objętość. W XVIII wieku Sir Isaac Newton i Gottfried Leibniz jednocześnie, ale osobno, opisali rachunek różniczkowy, aby pomóc rozwiązać problemy w fizyce. Dwa podziały rachunku różniczkowego, różniczkowy i całkowy, mogą rozwiązać problemy, takie jak prędkość poruszającego się obiektu w określonym momencie lub powierzchnia złożonego obiektu, takiego jak abażur.

Wszystkie rachunki opierają się na podstawowej zasadzie, że zawsze można użyć przybliżeń o rosnącej dokładności, aby znaleźć dokładną odpowiedź. Na przykład można przybliżać krzywą za pomocą szeregu linii prostych: im krótsze linie, tym bardziej zbliżają się do krzywej. Możesz także przybliżyć kuliste bryły za pomocą szeregu kostek, które stają się coraz mniejsze z każdą iteracją, które mieszczą się w kuli. Za pomocą rachunku całkowego można ustalić, że przybliżenia zmierzają do dokładnego wyniku końcowego, zwanego granicą, do momentu dokładnego opisania i odtworzenia krzywej, powierzchni lub bryły.

Rachunek różniczkowy opisuje metody, za pomocą których przy danej funkcji można znaleźć powiązaną z nią funkcję szybkości zmian, zwaną „pochodną”. Funkcja musi opisywać stale zmieniający się układ, taki jak zmiana temperatury w ciągu dnia lub prędkość planety wokół gwiazdy w ciągu jednego obrotu. Pochodna tych funkcji dałaby odpowiednio szybkość zmiany temperatury i przyspieszenia planety.

Rachunek całkowy jest przeciwieństwem rachunku różniczkowego. Biorąc pod uwagę szybkość zmian w systemie, można znaleźć podane wartości opisujące dane wejściowe systemu. Innymi słowy, biorąc pod uwagę pochodną, ​​taką jak przyspieszenie, możesz użyć integracji, aby znaleźć pierwotną funkcję, taką jak prędkość. Integracja służy również do obliczania wartości, takich jak obszar pod krzywą, pole powierzchni lub objętość bryły. Ponownie jest to możliwe, ponieważ zaczynasz od przybliżenia obszaru za pomocą szeregu prostokątów i dokładniej zgadujesz, badając granicę. Limit lub liczba, do której zmierzają przybliżenia, da ci dokładne pole powierzchni.