Co to jest rozkład geometryczny?
Rozkład geometryczny jest dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa, który zlicza liczbę prób Bernoulliego do momentu uzyskania jednego sukcesu. Próba Bernoulliego jest niezależnym powtarzalnym zdarzeniem o ustalonym prawdopodobieństwie p sukcesu i prawdopodobieństwie q = 1-p awarii, takim jak rzut monetą. Przykłady zmiennych o rozkładzie geometrycznym obejmują zliczanie, ile razy para kostek musi zostać rzucona, aż do rzucenia 7 lub 11 lub badanie produktów na linii montażowej, aż do znalezienia wady.
Nazywa się to rozkładem geometrycznym, ponieważ jego kolejne terminy tworzą szereg geometryczny. Prawdopodobieństwo sukcesu w pierwszej próbie wynosi p , prawdopodobieństwo w drugiej próbie wynosi pq , prawdopodobieństwo w trzeciej próbie wynosi pq 2 i tak dalej. Uogólnione prawdopodobieństwo dla n-tego terminu to pq n-1, które jest prawdopodobieństwem awarii n-1 z rzędu razy prawdopodobieństwo sukcesu w końcowej próbie. Rozkład geometryczny jest szczególnym przykładem ujemnego rozkładu dwumianowego, który zlicza liczbę prób Bernoulliego, aż do uzyskania sukcesów. Niektóre teksty nazywają to również rozkładem Pascala, chociaż inne używają tego terminu bardziej ogólnie dla każdego ujemnego rozkładu dwumianowego.
Rozkład geometryczny jest jedynym dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa z właściwością braku pamięci, która stwierdza, że na prawdopodobieństwo nie ma wpływu to, co miało miejsce wcześniej. Jest to konsekwencja niezależności procesów Bernoulliego. Jeśli zmienna, na przykład, jest liczbą razy, kiedy koło ruletki musi zostać obrócone, aby wyszło na czarno, liczba razy, kiedy koło wyskoczyło na czerwono przed rozpoczęciem zliczania, nie wpływa na rozkład.
Średnia rozkładu geometrycznego wynosi 1 / p . Jeśli więc prawdopodobieństwo uszkodzenia produktu na linii montażowej wynosi 0,0025, przed wykryciem usterki należałoby się spodziewać średnio 400 produktów. Wariancja rozkładu geometrycznego wynosi q / p2 .