Co to jest metoda Monte Carlo?

Metoda Monte Carlo jest w rzeczywistości szeroką klasą metod badawczych i analitycznych, a funkcja unifikująca polega na losowych liczbach w celu zbadania problemu. Podstawową przesłanką jest to, że o ile pewne rzeczy mogą być całkowicie przypadkowe i nieprzydatne w przypadku małych próbek, w przypadku dużych próbek stają się przewidywalne i można je wykorzystać do rozwiązania różnych problemów.

Prosty przykład metody Monte Carlo można zobaczyć w klasycznym eksperymencie, w którym losowe rzuty rzutkami określają przybliżoną wartość pi. Weźmy krąg i pokrójmy go na ćwiartki. Następnie weźmiemy jedną z tych kwater i umieścimy ją w kwadracie. Gdybyśmy losowo rzucali strzałkami w ten kwadrat i pomijali wszystkie wypadnięcia z tego kwadratu, niektóre wylądowałyby w kręgu, a inne na zewnątrz. Proporcja rzutek, które wylądowały w okręgu do rzutek, które wylądowały na zewnątrz, byłaby w przybliżeniu analogiczna do jednej czwartej liczby pi.

Oczywiście, gdybyśmy rzucili tylko dwie lub trzy rzutki, losowość rzutów sprawiłaby, że stosunek, do którego doszliśmy, byłby również dość losowy. Jest to jeden z kluczowych punktów metody Monte Carlo: wielkość próby musi być wystarczająco duża, aby wyniki odzwierciedlały rzeczywiste szanse i nie mogły mieć drastycznych zmian w wartościach odstających. W przypadku losowego rzucania rzutami okazuje się, że gdzieś w niskich tysiącach rzutów metoda Monte Carlo zaczyna dawać coś bardzo zbliżonego do pi. W miarę wchodzenia w wysokie tysiące wartość staje się coraz bardziej precyzyjna.

Oczywiście rzucanie tysięcy rzutek na kwadrat byłoby nieco trudne. A upewnienie się, że wykonasz je całkowicie losowo, byłoby mniej więcej niemożliwe, czyniąc z tego eksperyment myślowy. Ale za pomocą komputera możemy wykonać naprawdę losowy „rzut” i możemy szybko wykonać tysiące, dziesiątki tysięcy, a nawet miliony rzutów. To właśnie z komputerami metoda Monte Carlo staje się naprawdę realną metodą obliczeń.

Jeden z najwcześniejszych takich eksperymentów myślowych znany jest jako problem z igłą Buffona, który został po raz pierwszy zaprezentowany pod koniec XVIII wieku. Przedstawia dwa równoległe paski drewna o tej samej szerokości, leżące na podłodze. Następnie zakłada, że ​​upuszczamy igłę na podłogę i pyta, jakie jest prawdopodobieństwo, że igła wyląduje pod takim kątem, że przecina linię między dwoma paskami. Można to wykorzystać do imponującego obliczenia liczby pi. Rzeczywiście, włoski matematyk Mario Lazzarini faktycznie przeprowadził ten eksperyment, podrzucając igłę 3408 razy, i osiągnął 3,1415929 (355/113), odpowiedź niezwykle zbliżoną do rzeczywistej wartości pi.

Oczywiście metoda Monte Carlo wykorzystuje znacznie więcej niż proste obliczanie liczby pi. Jest przydatny w wielu sytuacjach, w których nie można obliczyć dokładnych wyników, jako rodzaj skróconej odpowiedzi. Był najbardziej znany w Los Alamos we wczesnych projektach nuklearnych w latach 40. XX wieku, i to właśnie ci naukowcy wymyślili termin metoda Monte Carlo, aby opisać losowość tej metody, ponieważ była podobna do wielu gier losowych rozgrywanych w Monte Carlo. Różne formy metody Monte Carlo można znaleźć w projektowaniu komputerów, chemii fizycznej, fizyce jądrowej i cząsteczkowej, naukach holograficznych, ekonomii i wielu innych dyscyplinach. Każdy obszar, w którym moc potrzebna do obliczenia precyzyjnych wyników, na przykład ruch milionów atomów, może być potencjalnie znacznie ułatwiony dzięki zastosowaniu metody Monte Carlo.