Was ist die Monte-Carlo-Methode?
Die Monte-Carlo-Methode stellt eine breite Klasse von Forschungs- und Analysemethoden dar, wobei das verbindende Merkmal darin besteht, dass zur Untersuchung eines Problems Zufallszahlen herangezogen werden. Die grundlegende Prämisse ist, dass bestimmte Dinge zwar völlig zufällig und bei kleinen Stichproben nicht sinnvoll sind, bei großen Stichproben jedoch vorhersehbar werden und zur Lösung verschiedener Probleme verwendet werden können.
Ein einfaches Beispiel für die Monte-Carlo-Methode zeigt ein klassisches Experiment, bei dem mit zufälligen Pfeilwürfen ein ungefährer Wert für pi ermittelt wird. Nehmen wir einen Kreis und schneiden ihn in Viertel. Dann nehmen wir eines dieser Viertel und platzieren es innerhalb eines Quadrats. Wenn wir nach dem Zufallsprinzip Pfeile auf dieses Feld werfen und alle aus dem Feld herausfallenden Pfeile herausnehmen würden, würden einige innerhalb des Kreises landen und einige würden außerhalb landen. Das Verhältnis der Pfeile, die im Kreis landeten, zu den Pfeilen, die im Freien landeten, würde in etwa einem Viertel von pi entsprechen.
Natürlich, wenn wir nur zwei oder drei Pfeile werfen würden, würde die Zufälligkeit der Würfe das Verhältnis, zu dem wir gekommen sind, auch ziemlich zufällig machen. Dies ist einer der wichtigsten Punkte der Monte-Carlo-Methode: Die Stichprobengröße muss groß genug sein, damit die Ergebnisse die tatsächlichen Gewinnchancen widerspiegeln, und darf nicht durch Ausreißer drastisch beeinflusst werden. Im Fall von zufällig geworfenen Pfeilen stellen wir fest, dass die Monte-Carlo-Methode irgendwo in den Tiefen von Tausenden von Würfen etwas ergibt, das sehr nahe an pi liegt. Wenn wir in die Höhe der Tausender kommen, wird der Wert immer präziser.
Natürlich wäre es etwas schwierig, tatsächlich Tausende von Pfeilen auf ein Feld zu werfen. Und es wäre mehr oder weniger unmöglich, sie ganz zufällig zu machen, was das Ganze eher zu einem Gedankenexperiment macht. Aber mit einem Computer können wir einen wirklich zufälligen „Wurf“ machen und schnell Tausende, Zehntausende oder sogar Millionen von Würfen ausführen. Mit Computern wird die Monte-Carlo-Methode zu einer wirklich praktikablen Berechnungsmethode.
Eines der frühesten Gedankenexperimente dieser Art ist das Buffon's Needle Problem, das zum ersten Mal im späten 18. Jahrhundert vorgestellt wurde. Auf dem Boden liegen zwei parallele Holzstreifen mit gleicher Breite. Dann wird davon ausgegangen, dass wir eine Nadel auf den Boden fallen lassen und fragen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Nadel in einem solchen Winkel landet, dass sie eine Linie zwischen zwei Streifen kreuzt. Dies kann verwendet werden, um den pi in beeindruckendem Maße zu berechnen. In der Tat hat ein italienischer Mathematiker, Mario Lazzarini, dieses Experiment durchgeführt, indem er 3408-mal mit der Nadel geworfen hat, und kam zu 3.1415929 (355/113), einer Antwort, die dem tatsächlichen Wert von pi bemerkenswert nahe kommt.
Die Monte-Carlo-Methode verwendet natürlich weit mehr als nur die einfache Berechnung von pi. Es ist in vielen Situationen nützlich, in denen genaue Ergebnisse nicht berechnet werden können, als eine Art Kurzantwort. Es wurde in Los Alamos in den frühen Atomprojekten der 1940er-Jahre am bekanntesten verwendet, und diese Wissenschaftler haben den Begriff Monte-Carlo-Methode geprägt, um die Zufälligkeit zu beschreiben, da es den vielen Glücksspielen in Monte ähnlich war Carlo. Verschiedene Formen der Monte-Carlo-Methode finden sich in Computerdesign, physikalischer Chemie, Kern- und Teilchenphysik, holographischen Wissenschaften, Wirtschaftswissenschaften und vielen anderen Disziplinen. Jeder Bereich, in dem die für die Berechnung präziser Ergebnisse erforderliche Leistung zur Verfügung steht, z. B. die Bewegung von Millionen von Atomen, kann mithilfe der Monte-Carlo-Methode erheblich unterstützt werden.