Quelle est la méthode de Monte Carlo?
La méthode de Monte Carlo est en réalité une vaste classe de méthodes de recherche et d'analyse, la principale caractéristique étant le recours à des nombres aléatoires pour étudier un problème. Le principe fondamental est que, même si certaines choses peuvent être entièrement aléatoires et inutiles sur de petits échantillons, elles deviennent prévisibles sur de grands échantillons et peuvent être utilisées pour résoudre divers problèmes.
On peut voir un exemple simple de la méthode de Monte Carlo dans une expérience classique, en utilisant des lancers de fléchettes aléatoires pour déterminer une valeur approximative de pi. Prenons un cercle et découpons-le en quarts. Ensuite, nous allons prendre un de ces quartiers et le placer dans un carré. Si nous devions lancer des fléchettes au hasard sur cette case et en déduire toutes celles qui y tombaient, certaines tomberaient à l'intérieur du cercle et d'autres à l'extérieur. La proportion de fléchettes qui atterrissent dans le cercle par rapport aux fléchettes qui atterrissent à l'extérieur serait à peu près analogue à un quart de pi.
Bien sûr, si nous ne lançions que deux ou trois fléchettes, le caractère aléatoire des lancers rendrait également le ratio auquel nous sommes arrivés. C’est l’un des points clés de la méthode de Monte Carlo: la taille de l’échantillon doit être suffisamment grande pour que les résultats reflètent les probabilités réelles, sans que les valeurs aberrantes l’affectent de manière drastique. Dans le cas des lancers au hasard, nous constatons que la méthode de Monte-Carlo commence à produire quelque chose de très proche des milliers de lancers très proches de pi. Au fur et à mesure que nous atteignons les milliers, la valeur devient de plus en plus précise.
Bien sûr, lancer des milliers de fléchettes sur une case serait un peu difficile. Et faire en sorte de les faire entièrement au hasard serait plus ou moins impossible, ce qui en ferait une expérience de pensée. Mais avec un ordinateur, nous pouvons faire un «lancer» vraiment aléatoire et nous pouvons rapidement faire des milliers, voire des dizaines de milliers, voire des millions de lancers. C’est avec les ordinateurs que la méthode de Monte Carlo devient une méthode de calcul réellement viable.
L'une des premières expériences de pensée de ce type est connue sous le nom de «Problème de l'aiguille de Buffon», qui a été présenté pour la première fois à la fin du XVIIIe siècle. Cela présente deux bandes de bois parallèles, de même largeur, reposant sur le sol. Il suppose ensuite que nous posons une aiguille sur le sol et nous demandons quelle est la probabilité que l’aiguille atterrisse selon un angle tel qu’elle franchit une ligne entre deux des bandes. Ceci peut être utilisé pour calculer pi à un degré impressionnant. En effet, un mathématicien italien, Mario Lazzarini, a fait cette expérience en lançant l'aiguille 3408 fois et est arrivé à 3.1415929 (355/113), une réponse remarquablement proche de la valeur réelle de pi.
La méthode de Monte Carlo a bien sûr des utilisations bien au-delà du simple calcul de pi. C'est utile dans beaucoup de situations où les résultats exacts ne peuvent pas être calculés, comme une sorte de réponse abrégée. C'est à Los Alamos qu'il a été le plus utilisé lors des premiers projets nucléaires des années 1940. Ce sont ces scientifiques qui ont inventé le terme méthode de Monte Carlo pour en décrire le caractère aléatoire, car il ressemblait aux nombreux jeux de hasard joués à Monte Carlo. Différentes formes de la méthode de Monte Carlo peuvent être trouvées dans la conception informatique, la chimie physique, la physique nucléaire et des particules, les sciences holographiques, l'économie et de nombreuses autres disciplines. La méthode de Monte Carlo permet d’aider considérablement les domaines dans lesquels la puissance nécessaire pour calculer des résultats précis, tels que le mouvement de millions d’atomes, peut être considérablement améliorée.