Was sind die besten Tipps zur Berechnung der Standardabweichung?
Die Standardabweichung ist eine statistische Zahl, die berechnet wird, um die spezifischen Grenzen von Datengruppierungen unterhalb und oberhalb des Mittelwerts einer idealen Grundgesamtheit innerhalb einer normalen Kurve anzugeben. Mit anderen Worten liefert eine berechnete Standardabweichung die Datengrenzen, die durch drei äquidistante Linien auf jeder Seite der Mittellinie einer Glockenkurve angezeigt werden. Die meisten Verfahren zur Berechnung der Standardabweichung ohne statistische Programme oder statistische Rechner werden als "One-Pass" - oder "Two-Pass" -Verfahren bezeichnet und beziehen sich auf die Häufigkeit, mit der jede Zahl als Teil der Gesamtlösung notiert und manipuliert werden muss. Obwohl jede Zahl ein zweites Mal behandelt werden muss, sind "Two-Pass" -Verfahren zur Berechnung der Standardabweichung leichter zu erklären, ohne auf die tatsächlich berechnete statistische Formel Bezug zu nehmen oder diese zu verstehen. Die besten Tipps zum Berechnen der Standardabweichung sind das Arbeiten mit kleineren Datenmengen, wenn Sie den Prozess zum ersten Mal lernen. Verwenden Sie ein Beispiel für ein Problem, auf das ein Schüler im wirklichen Leben stoßen könnte, und schreiben Sie alle Ihre Arithmetik- und Rechenaufgaben auf, um Fehler zu überprüfen und zu verstehen, wie Sie vorgehen individuelle Berechnungen ergeben Ihre endgültige Antwort.
Betrachten Sie die Berechnung der Standardabweichung in einer Liste von 10 Prüfungsnoten, um ein vernünftiges Beispielproblem zu ermitteln: 99, 78, 89, 71, 92, 88, 59, 68, 83 und 81.
Die Berechnung erfolgt nach einer Formel, die als Welford-Methode bezeichnet wird:
s = √ (1 / n-1) (∑ (x - µ) 2
Die Variablen in dieser Gleichung lauten wie folgt:
- s = Standardabweichung
- √ = Quadratwurzel der gesamten Berechnung
- n = Anzahl der Datenstücke, z. B. 10 Testnoten
- ∑ = Summationssymbol, das angibt, dass alle berechneten Ergebnisse, die folgen sollen, durch einfache Arithmetik addiert werden müssen
- x = jedes der verschiedenen Datenstücke für das Beispiel der Testnoten: 99, 78, 89 usw.
- µ = der Mittelwert oder Durchschnitt aller Ihrer Datenstücke; Zum Beispiel werden alle 10 Testnoten addiert und durch 10 geteilt
- (x - µ) 2 = Quadrieren des Ergebnisses der Gleichung oder Multiplizieren des Ergebnisses mit sich selbst
Wenn Sie nun nach bestimmten Variablen suchen, geben Sie sie in die Gleichung ein.
Der allererste Schritt ist der einfachste. Der Nenner n-1 der Fraktion 1 / n-1 kann leicht gelöst werden. Mit n gleich 10 Testnoten ist der Nenner eindeutig 10 - 1 oder 9.
Der nächste Schritt besteht darin, den Mittelwert oder Durchschnitt aller Testnoten zu ermitteln, indem diese addiert und durch die Anzahl der Noten dividiert werden. Das Ergebnis sollte µ = 80,8 sein. Dies ist die Mittellinie oder der Mittelwert, der das Standardkurvendiagramm in zwei bilaterale Hälften teilt.
Subtrahieren Sie anschließend den Mittelwert - µ = 80,8 - von jeder der 10 Testnoten und quadrieren Sie jede dieser Abweichungen in einem zweiten Durchgang durch die Daten. Somit,
| 99 - 80,8 = 18,2 | 331,24 |
| 78 - 80,8 = -2,8 | 7,84 |
| 89 - 80,8 = 8,2 | 67,24 |
| 71 - 80,8 = -9,8 | 96.04 |
| 92 - 80,8 = 11,2 | 125,44 |
| 88 - 80,8 = 7,2 | 51,84 |
| 59 - 80,8 = -21,8 | 475,24 |
| 68 - 80,8 = -12,8 | 163,84 |
| 83 - 80,8 = 2,2 | 4,84 |
| 81 - 80,8 = 0,2 | 0,04 |
Addieren Sie alle diese Berechnungen, um die durch ∑ dargestellte Summe der Daten zu erhalten. Grundlegende Arithmetik zeigt jetzt an, dass 1,3 = 1.323,6
∑ muss nun mit 1/9 multipliziert werden, da der Nenner dieser Fraktion im ersten Schritt der Berechnung der Standardabweichung ermittelt wurde. Es resultiert ein Produkt vom 147.07.
Schließlich erfordert die Berechnung der Standardabweichung, dass die Quadratwurzel dieses Produkts mit 12,13 berechnet wird.
Für unser Beispielproblem bezüglich der Prüfung mit 10 Testnoten im Bereich von 59 bis 99 betrug die durchschnittliche Testnote 80,8. Die Berechnung der Standardabweichung für unser Beispielproblem ergab einen Wert von 12,13. Gemäß der erwarteten Verteilung einer Normalkurve könnten wir schätzen, dass die gefundenen 68 Prozent der Noten innerhalb einer Standardabweichung des Mittelwerts (68,67 bis 92,93) und 95 Prozent der Noten innerhalb zweier Standardabweichungen des Mittelwerts (56,54) liegen bis 105,06) und 99,5 Prozent der Noten würden innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert liegen.