Come posso determinare il valore attuale di una rendita?

Il valore attuale di un'annualità, o un flusso finito di pagamenti di pari dimensioni, viene calcolato determinando il valore scontato di ciascun pagamento e sommandoli. Questo valore tiene conto dei diversi momenti in cui vengono effettuati i pagamenti: un pagamento effettuato in futuro vale meno dello stesso importo presente nel presente a causa di fattori quali l'incertezza e il costo opportunità. Per calcolarlo, dividere l'importo del pagamento per 1 più il tasso di sconto per il primo periodo; questo è il valore attuale del primo periodo. Per il secondo periodo, dividere l'importo del pagamento per 1 più il tasso di sconto per il primo periodo moltiplicato per 1 più il tasso di sconto per il secondo periodo; ripetere per ogni periodo successivo.

Il calcolo del valore attuale di un'annualità produce la formula: PV = C / (1 + r ₁ ) + C / [(1 + r ₁ ) (1 + r ₂ )] + C / [(1 + r ₁ ) (1 + r ₂ ) (1 + r ₃ )] + ... + C / [(1 + r ₁ ) (1 + r ₂ ) ... (1 + r _T-1 ) (1 + r _T )]. Nella formula, C è l'importo del pagamento dell'annualità, chiamato anche coupon. Il tasso di sconto per ciascun periodo è rappresentato da r _t e T è il numero di periodi.

Se il tasso di sconto è costante per tutto il tempo in cui l'annualità effettua pagamenti, è possibile utilizzare la formula PV = C / r * (1-1 / (1 + r) ^T ). Questa formula deriva dal metodo passo-passo per calcolare il valore attuale di una rendita. Se il tasso di sconto è sempre r, il valore attuale del primo pagamento è C / (1 + r). Il valore attuale del secondo pagamento è C / (1 + r) ^ 2 e così via. Pertanto, il valore attuale di un'annualità è rappresentato da: PV = C / (1 + r) + C / (1 + r) ² + ... + C / (1 + r) ^T-1 + C / (1 + r) ^T.

Una rendita può essere pensata come una perpetuità troncata. Ciò significa che sarebbe una serie infinita se i pagamenti non si fermassero mai. Poiché i pagamenti delle rendite sono limitati, è necessario calcolare la somma di una serie finita. Per fare ciò, calcola la somma delle serie infinite come se i pagamenti continuassero per sempre, quindi sottrai la somma delle serie infinite che rappresenta i pagamenti che non verranno mai effettuati. Il valore attuale della serie di pagamenti dopo gli arresti di rendita viene calcolato con la formula: PV = C / (1 + r) ^{T + 1} + C / (1 + r) ^{T + 2} + ...

La somma di una serie geometrica infinita in cui i termini sono descritti da A (1 / b) ^k , dove k varia da zero a infinito, è rappresentata da A / (1- (1 / b)). Per una rendita con un tasso di sconto costante, A è C / (1 + r) e b è (1 + r). La somma è C / r. Per la serie di pagamenti che non verranno mai effettuati, A è C / (1 + r) ^{T + 1} e b è (1 + r). La somma è C / [r * (1 + r) ^T ]. La differenza fornisce il valore attuale di un'annualità finita: C / r * [1-1 / (1 + r) ^T ].

Le formule per il valore attuale di un'annualità sono utilizzate per calcolare i pagamenti per prestiti interamente ammortizzati, o prestiti in cui un numero finito di pagamenti di pari dimensioni ripaga gli interessi e il capitale. Un esempio di prestito totalmente ammortizzante è un mutuo residenziale. Poiché i pagamenti vengono spesso effettuati mensilmente mentre le tariffe sono annualizzate, è necessario regolare i numeri quando si effettuano i calcoli. Utilizzare il numero di pagamenti per T e dividere r per il numero di pagamenti all'anno. Se il numero di pagamenti è incerto, come in una rendita a vita, i dati attuariali vengono utilizzati per stimare il numero di pagamenti che verranno effettuati e quel numero viene utilizzato per calcolare il valore attuale.