年金の現在価値を決定する方法は？

年金の現在価値、または同額の支払いの有限ストリームは、各支払いの割引額を決定し、それらを加算することにより計算されます。 この値は、支払いが行われるさまざまな時間を考慮します。将来的に行われる支払いは、不確実性や機会費用などの要因により、現在の同じ金額よりも価値が低くなります。 計算するには、支払い金額を1に最初の期間の割引率を加えて割ります。 これは、最初の期間の現在値です。 2番目の期間については、支払い金額を1に、1番目の期間の割引率に1を加え、2番目の期間の割引率を掛けて割ります。 後続の期間ごとに繰り返します。

年金の現在価値を計算すると、次の式が得られます。PV = C /（1 + r ₁ ）+ C / [（1 + r ₁ ）（1 + r ₂ ）] + C / [（1 + r ₁ ）（1 + r ₂ ）（1 + r ₃ ）] + ... + C / [（1 + r ₁ ）（1 + r ₂ ）...（1 + r _T-1 ）（1 + r _T ）]。 式では、Cは年金の支払い額で、クーポンとも呼ばれます。 各期間の割引率はr _tで表され、Tは期間の数です。

年金が支払いを行う期間全体にわたって割引率が一定である場合、式PV = C / r *（1-1 /（1 + r） ^T ）を使用できます。 この式は、年金の現在価値を計算する段階的な方法から導き出されます。 割引率が常にrである場合、最初の支払いの現在価値はC /（1 + r）です。 2回目の支払いの現在価値はC /（1 + r）^ 2などです。 したがって、年金の現在価値は、PV = C /（1 + r）+ C /（1 + r） ² + ... + C /（1 + r） ^T-1 + C /（1 + r） ^T

年金は切り捨てられた永久と考えることができます。 これは、支払いが停止しない場合、無限のシリーズになることを意味します。 年金の支払いは有限であるため、有限シリーズの合計を計算する必要があります。 これを行うには、支払いが永遠に続くかのように無限シリーズの合計を計算し、その後、行われない支払いを表す無限シリーズの合計を引きます。 年金が停止した後の一連の支払いの現在価値は、次の式で計算されます：PV = C /（1 + r） ^{T + 1} + C /（1 + r） ^{T + 2} + ...

項がA（1 / b） ^kで記述される無限幾何級数の合計（kはゼロから無限大まで変化します）は、A /（1-（1 / b））で表されます。 割引率が一定の年金の場合、AはC /（1 + r）、bは（1 + r）です。 合計はC / rです。 決して行われない一連の支払いの場合、AはC /（1 + r） ^{T + 1で} 、bは（1 + r）です。 合計はC / [r *（1 + r） ^T ]です。 差は有限の年金の現在価値を与えます：C / r * [1-1 /（1 + r） ^T ]。

年金の現在価値の計算式は、完全に償却するローン、または限られた数の同額の支払いが利息と元本を返済するローンの支払いを計算するために使用されます。 完全償却ローンの一例は、住宅ローンです。 支払いは多くの場合月ごとに行われ、料金は年換算されるため、計算を行う際に数値を調整する必要があります。 Tの支払い回数を使用し、rを年間の支払い回数で割ります。 生涯年金のように支払回数が不確実な場合、保険数理データを使用して行われる支払回数を推定し、その数値を使用して現在価値を計算します。