Wie bestimme ich den Barwert einer Rente?
Der Barwert einer Annuität oder eines endlichen Stroms gleich großer Zahlungen wird berechnet, indem der abgezinste Wert jeder Zahlung ermittelt und addiert wird. Dieser Wert berücksichtigt die unterschiedlichen Zeitpunkte, zu denen die Zahlungen getätigt werden. Eine zukünftige Zahlung ist weniger wert als der gleiche Betrag, und zwar aufgrund von Faktoren wie Unsicherheit und Opportunitätskosten. Teilen Sie zur Berechnung den Zahlungsbetrag durch 1 plus den Diskontsatz für die erste Periode. Dies ist der Barwert der ersten Periode. Teilen Sie für die zweite Periode den Zahlungsbetrag durch 1 plus den Diskontsatz für die erste Periode multipliziert mit 1 plus den Diskontsatz für die zweite Periode; Wiederholen Sie dies für jede weitere Periode.
Die Berechnung des Barwerts einer Annuität ergibt die Formel: PV = C / (1 + r 1 ) + C / [(1 + r 1 ) (1 + r 2 )] + C / [(1 + r 1 ) (1 + r 2 ) (1 + r 3 )] + ... + C / [(1 + r 1 ) (1 + r 2 ) ... (1 + r T-1 ) (1 + r T )]. In der Formel ist C der Betrag der Annuitätenzahlung, auch Kupon genannt. Der Abzinsungssatz für jede Periode wird durch r t dargestellt , und T ist die Anzahl der Perioden.
Ist der Abzinsungssatz für den gesamten Zeitraum, in dem die Annuität Zahlungen leistet, konstant, können Sie die Formel PV = C / r * (1-1 / (1 + r) T ) verwenden. Diese Formel leitet sich aus der schrittweisen Berechnung des Barwerts einer Annuität ab. Wenn der Diskontsatz immer r ist, ist der Barwert der ersten Zahlung C / (1 + r). Der Barwert der zweiten Zahlung beträgt C / (1 + r) ^ 2 usw. Somit wird der gegenwärtige Wert einer Annuität dargestellt durch: PV = C / (1 + r) + C / (1 + r) 2 + ... + C / (1 + r) T-1 + C / (1) + r) T.
Eine Annuität kann als verkürzte Ewigkeit betrachtet werden. Das heißt, es wäre eine unendliche Reihe, wenn die Zahlungen niemals eingestellt würden. Da Rentenzahlungen endlich sind, müssen Sie die Summe einer endlichen Reihe berechnen. Berechnen Sie dazu die Summe der unendlichen Reihen, als ob die Zahlungen für immer fortgesetzt würden, und subtrahieren Sie dann die Summe der unendlichen Reihen, die die Zahlungen darstellen, die niemals ausgeführt werden. Der Barwert der Zahlungsserie nach Rentenstopps berechnet sich nach der Formel: PV = C / (1 + r) T + 1 + C / (1 + r) T + 2 + ...
Die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe, in der die Terme durch A (1 / b) k beschrieben werden , wobei k von null bis unendlich variiert, wird durch A / (1- (1 / b)) dargestellt. Für eine Annuität mit einem konstanten Abzinsungssatz ist A C / (1 + r) und b ist (1 + r). Die Summe ist C / r. Für die Serie von Zahlungen, die niemals getätigt werden, ist A C / (1 + r) T + 1 und b ist (1 + r). Die Summe ist C / [r * (1 + r) T ]. Die Differenz ergibt den Barwert einer Rente, die endlich ist: C / r * [1-1 / (1 + r) T ].
Die Formeln für den Barwert einer Annuität werden verwendet, um die Zahlungen für vollständig amortisierende Kredite oder Kredite zu berechnen, bei denen eine begrenzte Anzahl gleich großer Zahlungen die Zinsen und den Kapitalbetrag zurückzahlt. Ein Beispiel für ein vollständig amortisierendes Darlehen ist eine Wohnhypothek. Da die Zahlungen häufig monatlich erfolgen, während die Kurse auf Jahresbasis berechnet werden, müssen Sie die Zahlen bei den Berechnungen anpassen. Verwenden Sie die Anzahl der Zahlungen für T und dividieren Sie r durch die Anzahl der Zahlungen pro Jahr. Wenn die Anzahl der Zahlungen ungewiss ist, wie bei einer lebenslangen Rente, werden versicherungsmathematische Daten verwendet, um die Anzahl der zu leistenden Zahlungen zu schätzen, und diese Zahl wird zur Berechnung des Barwerts verwendet.