Como faço para determinar o valor presente de uma anuidade?

O valor presente de uma anuidade, ou um fluxo finito de pagamentos de mesmo tamanho, é calculado determinando o valor descontado de cada pagamento e somando-o. Esse valor leva em consideração os diferentes momentos em que os pagamentos são feitos - um pagamento feito no futuro vale menos do que a mesma quantia no presente, devido a fatores como incerteza e custo de oportunidade. Para calcular, divida o valor do pagamento por 1 mais a taxa de desconto do primeiro período; esse é o valor presente do primeiro período. Para o segundo período, divida o valor do pagamento por 1 mais a taxa de desconto do primeiro período multiplicada por 1 mais a taxa de desconto do segundo período; repita para cada período subsequente.

Calcular o valor presente de uma anuidade produz a fórmula: PV = C / (1 + r ₁ ) + C / [(1 + r ₁ ) (1 + r ₂ )] + C / [(1 + r ₁ ) (1 + r ₂ ) (1 + r ₃ )] + ... + C / [(1 + r ₁ ) (1 + r ₂ ) ... (1 + r _T-1 ) (1 + r _T )]. Na fórmula, C é o valor do pagamento da anuidade, também chamado de cupom. A taxa de desconto para cada período é representada por r _t , e T é o número de períodos.

Se a taxa de desconto for constante durante todo o tempo em que a anuidade fizer pagamentos, você poderá usar a fórmula PV = C / r * (1-1 / (1 + r) ^T ). Essa fórmula é derivada do método passo a passo para calcular o valor presente de uma anuidade. Se a taxa de desconto for sempre r, o valor presente do primeiro pagamento será C / (1 + r). O valor presente do segundo pagamento é C / (1 + r) ^ 2 e assim por diante. Assim, o valor presente de uma anuidade é representado por: PV = C / (1 + r) + C / (1 + r) ² + ... + C / (1 + r) ^T-1 + C / (1 + r) ^T.

Uma anuidade pode ser pensada como uma perpetuidade truncada. Isso significa que seria uma série infinita se os pagamentos nunca parassem. Como os pagamentos de anuidades são finitos, é necessário calcular a soma de uma série finita. Para fazer isso, calcule a soma das séries infinitas como se os pagamentos continuassem para sempre e subtraia a soma das séries infinitas que representam os pagamentos que nunca serão feitos. O valor presente da série de pagamentos após o término da anuidade é calculado com a fórmula: PV = C / (1 + r) ^{T + 1} + C / (1 + r) ^{T + 2} + ...

A soma de uma série geométrica infinita na qual os termos são descritos por A (1 / b) ^k , onde k varia de zero ao infinito, é representada por A / (1- (1 / b)). Para uma anuidade com uma taxa de desconto constante, A é C / (1 + r) eb é (1 + r). A soma é C / r. Para a série de pagamentos que nunca serão feitos, A é C / (1 + r) ^{T + 1} eb é (1 + r). A soma é C / [r * (1 + r) ^T ]. A diferença fornece o valor presente de uma anuidade que é finita: C / r * [1-1 / (1 + r) ^T ].

As fórmulas para o valor presente de uma anuidade são usadas para calcular os pagamentos de empréstimos totalmente amortizados, ou empréstimos nos quais um número finito de pagamentos de mesmo tamanho paga os juros e o principal. Um exemplo de empréstimo totalmente amortizado é uma hipoteca residencial. Como os pagamentos costumam ser feitos mensalmente enquanto as taxas são anualizadas, você deve ajustar os números ao fazer os cálculos. Use o número de pagamentos para T e divida r pelo número de pagamentos por ano. Se o número de pagamentos for incerto, como em uma anuidade vitalícia, os dados atuariais serão usados ​​para estimar o número de pagamentos que serão feitos e esse número será usado para calcular o valor presente.