Comment déterminer la valeur actuelle d'une rente?

La valeur actuelle d'une annuité, ou d'un flux fini de paiements de taille égale, est calculée en déterminant la valeur actualisée de chaque paiement et en les additionnant. Cette valeur prend en compte les différents moments où les paiements sont effectués - un paiement effectué dans le futur vaut moins que le même montant dans le présent en raison de facteurs tels que l'incertitude et le coût d'opportunité. Pour le calculer, divisez le montant du paiement par 1 plus le taux d'actualisation de la première période; c'est la valeur actuelle de la première période. Pour la deuxième période, divisez le montant du paiement par 1 plus le taux d'actualisation de la première période multiplié par 1 plus le taux d'actualisation de la deuxième période; répéter pour chaque période suivante.

Le calcul de la valeur actuelle d’une rente donne la formule suivante: PV = C / (1 + r ₁ ) + C / [(1 + r ₁ ) (1 + r ₂ )] + C / [(1 + r ₁ ) (1 + r ₂ ) (1 + r ₃ )] + ... + C / [(1 + r ₁ ) (1 + r ₂ ) ... (1 + r _T-1 ) (1 + r _T )]. Dans la formule, C représente le montant de la rente, également appelé coupon. Le taux d'actualisation pour chaque période est représenté par r _t et T est le nombre de périodes.

Si le taux d'actualisation est constant pendant toute la durée de paiement de la rente, vous pouvez utiliser la formule PV = C / r * (1-1 / (1 + r) ^T ). Cette formule est dérivée de la méthode pas à pas de calcul de la valeur actuelle d’une annuité. Si le taux d'actualisation est toujours égal à r, la valeur actuelle du premier versement est C / (1 + r). La valeur actuelle du deuxième paiement est C / (1 + r) ^ 2, etc. Ainsi, la valeur actuelle d’une rente est représentée par: PV = C / (1 + r) + C / (1 + r) ² + ... + C / (1 + r) ^T-1 + C / (1 + r) ^T.

Une rente peut être considérée comme une perpétuité tronquée. Cela signifie que la série serait infinie si les paiements ne s'arrêtaient jamais. Comme les paiements de rente sont finis, vous devez calculer la somme d’une série finie. Pour ce faire, calculez la somme des séries infinies comme si les paiements continuaient pour toujours, puis soustrayez la somme des séries infinies représentant les paiements qui ne seront jamais effectués. La valeur actuelle de la série de paiements après l'arrêt de la rente est calculée avec la formule suivante: PV = C / (1 + r) ^{T + 1} + C / (1 + r) ^{T + 2} + ...

La somme d'une série géométrique infinie dans laquelle les termes sont décrits par A (1 / b) ^k , où k varie de zéro à l'infini, est représentée par A / (1- (1 / b)). Pour une rente à taux d'actualisation constant, A est C / (1 + r) et b est (1 + r). La somme est C / r. Pour la série de paiements qui ne seront jamais effectués, A est C / (1 + r) ^{T + 1} et b est (1 + r). La somme est C / [r * (1 + r) ^T ]. La différence donne la valeur actuelle d'une rente finie: C / r * [1-1 / (1 + r) ^T ].

Les formules de la valeur actuelle d’une annuité servent à calculer les paiements pour des prêts totalement amortissables, ou des prêts pour lesquels un nombre fini de paiements de taille égale rembourse les intérêts et le principal. Un emprunt hypothécaire résidentiel est un exemple de prêt pleinement amortissable. Étant donné que les paiements sont souvent effectués mensuellement alors que les taux sont annualisés, vous devez ajuster les chiffres lors du calcul. Utilisez le nombre de paiements pour T et divisez r par le nombre de paiements par an. Si le nombre de paiements est incertain, comme dans une rente viagère, les données actuarielles sont utilisées pour estimer le nombre de paiements qui seront effectués, et ce nombre est utilisé pour calculer la valeur actuelle.