Hvordan bestemmer jeg nutidsværdien af ​​en livrente?

Den nuværende værdi af en livrente eller en begrænset strøm med lige store betalinger beregnes ved at bestemme den diskonterede værdi af hver betaling og tilføje dem sammen. Denne værdi tager højde for de forskellige tidspunkter, hvornår betalingerne foretages - en betaling, der er foretaget i fremtiden, er mindre værd, end det samme beløb er værd i nuet på grund af faktorer som usikkerhed og mulighedsomkostninger. For at beregne det, skal du betale betalingsbeløbet med 1 plus diskonteringsrenten for den første periode; dette er nutidsværdien af ​​den første periode. For den anden periode skal du betale betalingsbeløbet med 1 plus diskonteringsrenten for den første periode ganget med 1 plus diskonteringsrenten for den anden periode; gentag for hver efterfølgende periode.

Beregning af nutidsværdien af ​​en annuitet giver formlen: PV = C / (1 + r1) + C / [(1 + r1) (1 + r2)] + C / [(1 + r1) (1 + r2) (1 + r3)] + ... + C / [(1 + r1) (1 + r2) ... (1 + r _T-1 ) (1 + rT)]. I formlen er C størrelsen på annuitetsbetalingen, også kaldet kuponen. Diskonteringsrenten for hver periode er repræsenteret med r _t , og T er antallet af perioder.

Hvis diskonteringsrenten er konstant i hele den periode, hvor livrenten foretager betalinger, kan du bruge formlen PV = C / r * (1-1 / (1 + r) ^T ). Denne formel er afledt fra den trinvise metode til beregning af nutidsværdien af ​​en annuitet. Hvis diskonteringsrenten altid er r, er nutidsværdien af ​​den første betaling C / (1 + r). Den nuværende værdi af den anden betaling er C / (1 + r) ^ 2 osv. Således er den nuværende værdi af en annuitet repræsenteret af: PV = C / (1 + r) + C / (1 + r) ² + ... + C / (1 + r) ^T-1 + C / (1 + r) ^T.

En livrente kan betragtes som en afkortet evighed. Dette betyder, at det ville være en uendelig serie, hvis betalingerne aldrig stoppede. Da annuitetsbetalinger er begrænsede, skal du beregne summen af ​​en begrænset serie. For at gøre dette skal du beregne summen af ​​den uendelige serie, som om betalingerne fortsætter for evigt, og træk derefter summen af ​​den uendelige serie, der repræsenterer de betalinger, der aldrig vil blive foretaget. Den aktuelle værdi af serien af ​​betalinger efter annuitetsstop beregnes med formlen: PV = C / (1 + r) ^{T + 1} + C / (1 + r) ^{T + 2} + ...

Summen af ​​en uendelig geometrisk serie, hvor udtrykkene er beskrevet af A (1 / b) ^k , hvor k varierer fra nul til uendelig, er repræsenteret ved A / (1- (1 / b)). For en livrente med en konstant diskonteringssats er A C / (1 + r) og b er (1 + r). Summen er C / r. For den række betalinger, der aldrig vil blive foretaget, er A C / (1 + r) ^{T + 1} og b er (1 + r). Summen er C / [r * (1 + r) ^T ]. Forskellen giver nutidsværdien af ​​en annuitet, der er begrænset: C / r * [1-1 / (1 + r) ^T ].

Formlerne til nutidsværdien af ​​en livrente bruges til at beregne betalingerne for fuldt amortiserende lån, eller lån, hvor et begrænset antal af lige store størrelser betaler renter og hovedstol. Et eksempel på et fuldt amortiserende lån er et boliglån. Da betalinger ofte foretages månedligt, mens satserne er årlige, skal du justere numrene, når du foretager beregningerne. Brug antallet af betalinger for T, og divider r med antallet af betalinger om året. Hvis antallet af betalinger er usikkert, som i en livstid livrente, anvendes aktuarmæssige data til at estimere antallet af betalinger, der vil blive foretaget, og dette nummer bruges til at beregne den aktuelle værdi.