Was ist ein Paraboloid?
Ein Paraboloid ist eine besondere Art von dreidimensionaler Oberfläche. Im einfachsten Fall ist es die Umdrehung einer Parabel entlang ihrer Symmetrieachse. Diese Art von Oberfläche öffnet sich in beiden seitlichen Dimensionen nach oben. Ein hyperbolisches Paraboloid öffnet sich in einer Dimension nach oben und in der anderen nach unten und ähnelt einem Sattel. Wie bei einer zweidimensionalen Parabel können Skalierungsfaktoren auf die Krümmung eines Paraboloids angewendet werden.
Um zu verstehen, wie sich ein Paraboloid verhält, ist es wichtig, Parabeln zu verstehen. In der Tat bilden einige Querschnitte eines Paraboloids eine Parabel. Die Gleichung y = x 2 bildet eine Parabel in einem Standardkoordinatensystem. Diese Gleichung bedeutet, dass die Abstände eines Punktes auf dieser Linie von der x- und der y-Achse immer eine besondere Beziehung zueinander haben. Der y-Wert ist immer der quadrierte x-Wert.
Dreht man diese Linie um die y-Achse, entsteht ein einfaches kreisrundes Paraboloid. Alle vertikalen Querschnitte dieser Oberfläche öffnen sich in der positiven y-Richtung. Es ist jedoch möglich, ein hyperbolisches Paraboloid zu bilden, das sich auch in der dritten Dimension nach unten öffnet. Bei vertikalen Querschnitten öffnet sich in diesem Fall die Hälfte der Parabel in positiver Richtung. Die andere Hälfte öffnet sich in negativer Richtung. Diese Oberfläche eines hyperbolischen Paraboloids ähnelt einem Sattel und wird in der Mathematik als Sattelpunkt bezeichnet.
Eine Anwendung der Paraboloidoberfläche ist der Primärspiegel eines Spiegelteleskops. Diese Art von Teleskop reflektiert einfallende Lichtstrahlen, die nahezu parallel sind, wenn sie von weit her kommen, auf ein kleineres Okular. Der Primärspiegel reflektiert eine große Lichtmenge auf einen kleineren Bereich. Wenn ein kreisförmiger Spiegel verwendet wird, stimmen die reflektierten Lichtstrahlen an einem Brennpunkt nicht perfekt überein. Dies nennt man sphärische Aberration. Parabolspiegel sind zwar komplizierter herzustellen, haben aber die erforderliche Geometrie, um alle Lichtstrahlen zu einem gemeinsamen Brennpunkt zu reflektieren.
Aus dem gleichen Grund wie beim Parabolspiegel wird bei Satellitenschüsseln üblicherweise eine konkave parabolische Oberfläche verwendet. Von umlaufenden Satelliten gesendete Mikrowellensignale werden von der Oberfläche zum Brennpunkt der Schüssel reflektiert. Ein angebautes Gerät, Feedhorn genannt, sammelt dann diese Signale zur Verwendung. Das Senden von Signalen funktioniert auf ähnliche Weise. Jedes Signal, das vom Brennpunkt einer Paraboloidoberfläche gesendet wird, wird in parallelen Strahlen nach außen reflektiert.