Was ist ein Planimeter?

Ein Planimeter ist ein Instrument, mit dem die Fläche einer zweidimensionalen Form gemessen wird, die normalerweise für eine manuelle Messung zu komplex ist. Die Vorrichtung mechanisiert den Prozess der Berechnung der Fläche unter Verwendung einer Formel, die als Green-Theorem bekannt ist. Während ein Planimeter in einem kleinen physischen Bereich selbst verwendet werden kann, wird es häufiger in einer maßstabsgetreuen Darstellung wie einer Karte verwendet.

Der Schlüssel zur Funktionsweise eines Planimeters ist der Satz von Green, benannt nach dem britischen Mathematiker George Green. Als etwas vereinfachte Erklärung funktioniert die Verwendung des Theorems, indem ein Bereich in so viele Rechtecke unterteilt wird, wie es passt. Die übrigen Bereiche bestehen aus der geraden Kante eines Rechtecks ​​und einer gekrümmten Kante entlang der Außenseite des Bereichs.

Die Flächen der Rechtecke zu berechnen, wäre für die menschliche Berechnung einfach genug. Das Herausarbeiten des Bereichs der gekrümmten Abschnitte ist jedoch komplizierter. Der Satz von Green verwendet die verfügbaren Informationen, um die Fläche dieser Abschnitte zu berechnen. Green's Theorem ist zwar vergleichsweise einfach, aber es wäre so kompliziert und zeitaufwendig, dass es für die Berechnung einer Fläche durch den Menschen größtenteils unpraktisch wäre.

Ein Planimeter automatisiert diesen Prozess. In seiner gebräuchlichsten Form, einem Polarplanimeter, ähnelt es einem menschlichen Arm von der Schulter bis zum Handgelenk. Die „Schulter“ ist normalerweise ein Metallzylinder, der in seiner Position fixiert ist, sich aber drehen kann. Das „Handgelenk“ ist ein beweglicher Zeiger, mit dem der Bereich nachgezeichnet wird. Der "Ellbogen" ist ein Scharnier, das sich in beide Richtungen bewegen kann.

Diese Einstellung bedeutet, dass das Scharnier sowohl von der Richtung als auch von der Entfernung, die der Zeiger zurücklegt, beeinflusst wird. Das Planimeter hat ein Rad in der Nähe des „Ellbogens“, das diese Daten misst. Dieses Rad wird entweder verschoben oder gedreht, je nachdem, in welche Richtung sich der Zeiger bewegt.

Während sich das Rad dreht, misst ein angeschlossenes Display seine Umdrehungen. Die Anzahl der Umdrehungen ist proportional zur erfassten Fläche. Es ist so eingerichtet, dass die Zahl auf der Skala die Größe des Bereichs anzeigt, sobald der Zeiger den gesamten Umfang des Bereichs durchlaufen hat. Diese mechanische Operation beseitigt die Notwendigkeit, die Fläche mit dem Satz von Green zu berechnen.

Theoretisch kann ein Planimeter verwendet werden, um zweidimensionale Bereiche in Lebensgröße zu messen. In der Praxis besteht hierfür nur eine geringe Nachfrage mit Bereichen, die so klein sind, dass dies praktisch wäre. In der Realität wird normalerweise ein Planimeter für eine Maßstabszeichnung der Fläche verwendet. Dies kann häufig die Vermessung einer Landfläche mit einem Planimeter auf einer Karte umfassen. Es kann auch von einem Zeichner für Gebäudepläne verwendet werden.